【未解之謎】用數學公式證明神的存在

用數學公式證明了神的存在!如特斯拉一般,如同穿越未來而來的天才數學家。(《未解之謎》提供)
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今天,我們先來看一個數學題,所有正整數無窮相加,即1+2+3+4+5+……,它的值是多少呢?也許有觀眾朋友說,雖然我無法一下子給出答案,但是按照常理推,這個結果應該是一個非常大的數字。

不過呢,在數學界中一旦涉及到無窮,就和物理學進入量子力學一樣,一切都不能用正常思維去思考了。1+2+3一直加到無窮最後的結果竟然是-1/12。而給出這個公式證明的人,就是我們今天故事的主人公,被稱為從未來穿越而來的天才數學家拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)。

拉馬努金為什麼算天才呢?因為他從小沒有受過正規的訓練,卻表現出了異於常人的數學天賦,僅憑「直覺」就能寫下極其複雜的數學公式。在他短暫的一生中,拉馬努金留下了將近4000個公式及命題,由於他沒給出證明過程,所以當時沒有人能看懂這些公式。在很多年之後,數學家們才解開了其中的一些公式命題,甚至由此獲得重大數學成就。比如,比利時數學家德利涅(V. Deligne)在1973年證明了拉馬努金1916年提出的一個猜想,並因此獲得了1978年的菲爾茲獎,而這是世界上最高的數學獎榮譽。

那為什麼又說拉馬努金是穿越而來的呢?因為當代科學家在研究他那些神祕的公式時,赫然發現,他寫下的好幾個定理涉及到粒子物理、統計力學、計算機科學、密碼技術和空間技術等不同領域。而1919年,在拉馬努金生命的最後一年,他寫出的最後一個公式,到2012年才被人破解,數學家表示這一函數可以用來描述黑洞的行為,要知道,當拉馬努金首次提出這種函數的時候,人們連黑洞是什麼都還不知道呢。

拉馬努金的伯樂、導師兼好友,英國大數學家哈代(G. H. Hardy)曾表示自己一生對數學領域最大的貢獻就是發掘了拉馬努金,他還感歎,「我們是在學習數學,而拉馬努金則是發現並創造了數學。」

而拉馬努金也不止一次地向哈代表示,甚至證實他的數學天賦來自於神,這一切也都深深震撼著持有無神論觀點的哈代。

天才出世

1887年12月12日,在印度埃羅德(Erode),一個遠離邦首府馬德拉斯(Madras)的小鎮,有一個男孩降生了,家人為他取名叫拉馬努金。埃羅德是一個很貧窮的小鎮,即便拉馬努金的家族屬於印度種姓制度中最高等級,他們家還是相當貧窮,全家人就靠父親每月的工資20盧比生活,日子過得緊巴巴的。

小拉馬努金並不像一些天才兒童,三四歲就展露頭角,他的才華直到1898年,他十歲的時候,才逐漸被發現。那一年,小拉馬努金進入了一所學校讀書,第一次接觸到正規的數學。而這時,他的家裡也住進了兩個房客,時不時也教小拉馬努金一些數學。等拉馬努金11歲時,這兩位房客已經感到自己的數學能力已經教不了這個孩子了,而這兩位房客也不是一般人,他們是當時政府大學的大學生。

拉馬努金12歲時,高班的同學借給他一本朗內(S. L. Loney)寫的《平面三角學》(Plane Trigonometry)。令人驚訝的是,拉馬努金在短時間裡自學完整本書,不僅解答出書中所有的問題,還獨立推導出歐拉公式(Euler’s formula)。

拉馬努金進入高中後,一次在學校圖書館中他借到了英國數學家G‧S‧卡爾(George Shoobridge Carr)的《純粹及應用數學的基本成果概要》(A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics)一書。這是一本讓一般人頭大的數學著作,裡面包含著代數、微積分、三角學和解析幾何的5000多個公式,但沒有給出詳細證明。然而,拉馬努金卻愛不釋手,最後用自己的方式,把所有的公式都證明了一遍。

拉馬努金因為數學成績優異曾獲得獎學金,然而他偏科太嚴重,除了數學,他什麼也不感興趣。結果,到學期末他因為英語等成績太差而失去獎學金,並最終因為文科成績不合格而被迫輟學。

窮困潦倒中的磨礪

離開學校之後,拉馬努金繼續過著貧困的生活。1909年,他結婚了,按照傳統他必須得外出謀生養家了。拉馬努金找到印度數學學會的創始人之一艾亞爾(R. Aiyar),請他給自己一份餬口的差事。是金子總是會發光的。拉馬努金後來被推薦給印度數學學會的另一位創始人拉奧(R. Rao)。拉奧愛惜拉馬努金的才華,表示願意按時給拉馬努金一些錢,維持他一段時期的生活,同時向有關方面為拉馬努金爭取研究津貼,以使他能安心從事研究。

然而,孟子說過:「天將降大任於斯人也,必先苦其心志,勞其筋骨,餓其體膚,空乏其身。」拉奧為拉馬努金申請的津貼沒有拿下來,而拉馬努金也很有志氣,不願意成為別人的經濟包袱,也很長時間不去拉奧那裡領錢了。因為沒錢買紙,拉馬努金都是在石板上做數學演算,然後直接用胳膊肘去擦,時間一長,胳膊肘被磨得又黑又厚。

生活還得繼續啊,好在拉奧等人是真心願意幫助這個有才華的年輕人,他們幫拉馬努金在金奈(Chennai),原名叫馬德拉斯(Madras)的港務局找到一份工作,月薪25盧比。雖然薪水不多,但總是可以解決溫飽問題了。於是,拉馬努金把精力投入在數學研究中,並開始初步嶄露頭角。

他在著名的《印度數學會雜誌》(Journal of the Indian Mathematical Society)上發表了一些論文,在印度的數學圈漸漸有了名氣。因為當時英國的數學研究做得很好,於是有人就建議拉馬努金聯繫聯繫英國的數學家。

仔細思考之後,拉馬努金給英國劍橋大學的幾位著名數學家發了一份一模一樣的信。

大洋彼岸的神祕來信

1913年的一個冬日,英國劍橋大學三一學院的數學教授哈代在吃完早飯之後,按照慣例拿起桌邊的《泰晤士》報紙,準備了解當日新聞。這時,報紙上放著的一封信引起了他的注意。信封上貼著來自印度的郵票,並寫著「馬德拉斯,1913年1月16日」。雖然自己似乎在印度馬德拉斯沒有熟人,哈代還是打開了信封,抽出了長達10頁的信。

作為著名的數學家,哈代經常收到這類毛遂自薦的信,然而拉馬努金的信讓他頗為驚訝。整封信除了幾句英語介紹之後,完全就是用代數、三角函數、微積分這樣的數學語言寫成的。滿眼的公式啊,估計哈代都要看暈了。

當天晚上,哈代找來了他的好友,也是著名數學家李特爾伍德(J. E. Littlewood)一起研究這份信。從晚上9點到凌晨12點,三個小時過去了,他們倆竟然都沒有完全看懂信中的公式。但是有一件事他們已經清楚了,就是這個寫信的人一定是個數學天才。

哈代興奮地向拉馬努金發出邀請,並為他申請了豐厚的獎學金。然而,拉馬努金這邊卻遲疑了,因為他的家人擔心他一旦出國就會失去在印度的高貴種姓。直到有一天,拉馬努金的媽媽在睡夢中夢到神告訴她,不要阻擋兒子的前程,這樣她才下決心讓兒子出國。

天才的鼎盛時期

來到英國之後,拉馬努金在哈代和李特爾伍德等人的幫助下,學習了很多數學的基礎知識,以及正規的數學研究方法,在歐洲的5年裡,他在英國、法國、德國的數學雜誌上共發表了21篇論文。

在拉馬努金與哈代合寫的一篇論文中,他們對困擾數學家多年的整數分拆問題作出了驚人的解決,首創了正整數n的分拆數p(n)的漸近公式。

這裡稍微介紹下正整數拆分,就是對於一個正整數n,它可以有1個或多個正整數疊加而成,p(n)就代表了不同的疊加方式。

比如:1=1, p(1) =1
2=2, 2=1+1, p(2)=2
3=3, 3=1+1+1, 3=1+2, p(3)=3
4=4, 4=1+1+1+1, 4=1+1+2, 4=1+3, 4=2+2, p(4)=5
……..

我們這裡也展示下拉馬努金和哈代的公式:憑藉著這個公式,拉馬努金於1918年被推選為英國王家學會會員,這是英國數學界的最高榮譽,而拉馬努金也是有史以來最年輕的會員。

哈代對於拉馬努金的才華非常欣賞,他在自己設計的一種關於數學天才的非正式的評分表中,給自己評了25分,給好友兼數學家李特爾伍德評了30分,給他同時代最偉大的數學家希爾伯特(D. Hilbert)評了80分,而他給拉馬努金,評了100分。

他時常對拉馬努金寫的公式讚不絕口,問他:你是怎麼寫出來?而拉馬努金則常常簡單地回答道:這是神在夢中指點給我的。拉馬努金自己說,在睡夢中他的思路就會變得很清晰,能夠接受到海量信息。在夢中,神在牆上寫下一個又一個公式,他記住那些公式,醒來後,把公式記錄在筆記本上。

一開始,信仰無神論的哈代以為拉馬努金是在逗他玩呢,然而一次又一次,拉馬努金在睡醒覺之後,就給出了令他們頭疼的難題的答案,讓哈代著實吃驚不已。看著拉馬努金那三大本筆記本,上面寫滿了超級複雜又沒有證明過程的公式,哈代逐漸相信,拉馬努金確實有不同於常人的特殊能力,他或許真的能和神溝通。

哈代很高興自己發掘出了天才拉馬努金。然而,他們快樂的合作生活只維持了三年。

最後的時刻

拉馬努金如痴如醉地把一切精力投入到數學研究之中,經常忘記吃飯,忘記休息,他的身體時常出現疼痛,最後在1917年發現他患上了肺結核,他在英國的最後一年,幾乎都是在療養院度過的。然而,在病床上,拉馬努金還是在想著數學。

這裡還有一個小插曲。有一天,哈代乘坐一輛出租汽車去療養院看望拉馬努金。哈代對拉馬努金說:「我搭計程車來,車牌號碼是1729,這數字真沒趣,希望不是不祥之兆。」拉馬努金想一下馬上回答:「不,這個數有趣得很。在所有可以用兩個立方數之和來表達,而且有兩種表達方式的數之中,1729是最小的。」即1729=1^3+12^3=9^3+10^3,後來這類數稱為的士數。難怪,哈代會發出感歎:「每個數都是拉馬努金的朋友。」

久病沒有好轉的拉馬努金思鄉心切,在1919年回到印度,然而這並沒有讓他好起來,轉過年來的4月,拉馬努金病逝,當時他只有33歲。他一生清貧,死後僅留下兩張照片,以及一個熱敷用的熱水袋和一些書籍文稿。

拉馬努金在病床上,還留下了第四本記錄公式的筆記本,這本筆記本被稱為「遺失的筆記本」,因為在他死後50多年一直都不知下落。直到1976年,美國賓夕法尼亞大學教授G‧安德魯斯(G. Andrews)訪問劍橋大學三一學院時,在該校的圖書館中發現這本筆記本,上面有600多個沒有證明過程的公式。

當現代的科學家研究拉馬努金的這幾本手稿時,發現它們如同一個巨大的寶藏,蘊含著眾多難以揭開的奧祕。拉馬努金的一些公式在眾多尖端科學領域起著重要的作用,甚至隱藏著黑洞的祕密。

拉馬努金一生堅信,他的數學靈感來自於神,或許也只有這樣才能解釋,為何他能有如此超凡的成就。拉馬努金的故事,後來在2015年被拍成電影《知無涯者》。據說,數十位硅谷科技領袖在一次宴會中一起看了這部電影,很多人最後紅著眼眶走了出來。

好了,今天就和大家分享到這裡,未解之謎,我是扶搖,我們下期再見。

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責任編輯:李梅#

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