【大纪元8月15日讯】
用积木来代表数量，并借此明白数量之间的关系，是一种很好的方法。
然而在称名的社会里，我们有另类表达方式，一种是给嘴巴说的，另一种是手写的。
数量的代表物有两样：一是图像，另一是符号。
积木是图像的一环。
而符号有两种：
第一种是口里念的，给耳朵听的，称之为唱名；
第二种是手上写的，给眼睛看的，称之为文字，数字，算式，公式等。传统数学向来发展的是这种，因为它的表达方式比较经济：乍看之下省力，省时，但结果是并不怎么省脑，让大部分的人在当中转了十几年，甚至数十年，还转不出迷宫。
因此我提倡：先图像后符号！
这就像先学唱歌，再学写五线谱。唱歌是天然的，一定比学五线谱容易。
口说，也就是唱名，又比书写符号容易，所以先教唱名，但无论如何，唱名一定要和图像连结在一起教。
*唱名的教法
1.念一到十
记得上一章的对应关系积木图、五色台阶、和水晶山吗？教师要小朋友指着对应关系积木：
步骤一、先念左栏：“一、二、三、四、五”，再念右栏：“六、七、八、九、十”。
步骤二、左右栏交替念：“一六、二七、三八、四九、五十”。
步骤一的“一到十”很容易念，小朋友不到半分钟朗朗上口。
步骤二的“一六、二七、三八、四九、五十”，困难度不小。
因为步骤二需要数量对应概念，甚至须了解六是五加一的概念。
小朋友不太容易明白“加”这个字，但她们了解“和”这个字，譬如：“你和我”，所以在教基础数学时，刚开始我说：“一‘和’二是三”，而不说“一‘加’二是三”。
背不出来“一六、二七、三八、四九、五十”的小朋友，可以很肯定地说，他并不了解六七八九十是五加上一二三四五的概念。
到底小朋友会念数字，是基于记忆，还是理解？从这里可以客观地看出。
如果是基于理解，那么这个小朋友即使是倒念，或者跳一位念，都是没有问题的。
倒念：十九八七六五四三二一。
跳念：一三五七九，二四六八十。
2.念十一到十五
3.念十六到二十
教师把有数字的贴纸贴在积木上，要小朋友指着积木念：
“一、十六；二、十七；三、十八；四、十九；五、二十”。
在念十一时，教师可以画一个弧线，要小朋友连在一起念快一点，从停顿的十、一，到一口气念出十一。
十到十九都不会有困难，但是二十就有困难，因为小朋友会依照前面的逻辑念“十十”。
这时教师就要把积木竖立起来，告诉他，一个十念十，两个十念二十，三个十念四十，五个十念五十，从空中看如下图：
每一个数都不是独立存在的，它是在一个数系网里，它的地位是靠其它数界定的。
十进位就是十进位，有谁会想得到它就是五进位的重复呢？但事实上，我们处在一个对五很敏感的社会中。我们的成语里面，有许多跟五有关的：
八瓣儿五，八门五花，拔十得五，拔十失五，博览五车，不为五斗米折腰，麻雀虽小，五脏俱全，墨分五色，铭感五内，目迷五色，大烹五鼎，盗不过五女门，拿三道五，隔三差五，各打五十板，郭公夏五，过五关斩六将，喝五吆三，祭五脏庙，九五之尊，九五之位，七侠五义。
可见数量并不是只存在数学世界的东西，已经广泛地进入我们的日常语言中来甚至国骂当中例如骂人三八或四九。
*“三八”和“四九”之词从何而来？
在上一节中，当小朋友会说出“一六、二七、三八、四九、五十”这样的数组时，代表他了解六七八九十和五的关系。如果没有用积木教学，这种领悟可说是困难而抽象的。
常听人骂“三八”或“四九”，但为何不说“三九”或“四八”，成为“倍数”岂不更好？大家有没有想过这个问题？
当我们学过对应关系积木图后，就恍然大悟，原来这两句国骂是数学模式：三对应八，四对应九！请看下图。
如果用“五进位”，八要写成13（５），九写成14（５）。
在这里揭露一个数学心理学上的秘密：小朋友对十进位并没有厚爱，他更爱“五进位”，成人也同样爱五进位，因为视觉上好掌握。我们之所以认为自己喜欢十进位，是一种社会化的过程，也就是我们习惯了。事实上，十进位就是双重五进位，这样一想，就不会认为十进位太长了（人无法立即辨识超过七的东西），在视觉上太难掌握，也就是只要把十进位依附在五进位上教，长度的问题将可迎刃而解。
心理学家证明人类的感官无法辨识超过七的东西。
我们可以做一个实验，在纸上画几个点，或者在任意丢出几个小物件，规定不准数算，在一秒内就要说出个数。
任何人都会得到相同的结果：只要个数超过七，就无法不经数算而辨认出。只要是超过七，我们就要用算的。
为何会这样呢？只能猜测，当初上帝造人脑时，已经设定好了这个程式！
*双重五进位的理由：人脑不能辨识超过七
心理学家的这个实验可以成为一个新鲜又刺激的游戏，用来挑战人的脑力和反应。
虽然超过七，我们不能辨识，但是我们可以辨认出有几组七以内的数量。
我经常和学生玩一个游戏，每次都会引来学生兴奋地尖叫。
把几个白色积木放进盒子里，摇一摇，然后打开盒盖，要学生立即说出有几个积木。
果然如心理学家所证实的，只要是超过七块的积木，每个人都会迟疑一下，甚至两下，或者好久。
那些只迟疑一下，就快速说出有多少的人，他绝对不是从头数到尾，他用的技巧是分组相加。至于如何分组？依照积木在盒中散布的图形而定，比较接近的成为同一组。
譬如盒中有十一个积木时，很可能看到的组数是这样的：
５，３，３（三个元件）
如果我们从一开始数倒十一，那么要好多秒；如果我们分成三组，那么只要一秒。
只要是不超过七组，而每一组内又不超过七的个数，我们就不会难过。那么是否我们不能属算超过四十九的东西，不！七中可以再有七，成为七的指数。
*十进位要依赖五进位存在
既然人脑可以辨认到七，那我们为什么不直接用七进位，何必用十进位呢？又人脑不过七，但我们却用十进位，岂非矛盾？不！
人有五指，人们天天看到两个五，因此聪明的人类干脆把十进位当作双重五进位来对待，两个五进位总是比一个七进位来得容易。这也就是就是我为什么在本书的一开头，开宗名义就指出，世界上只有五个量，其它的量都是这五个量的排列组合。
珠算就是双重五进位的证据！在珠算中，九的表示法：5+1+1+1+1，上珠一颗，下珠四颗，总共只有五颗，有超过七吗？没有！可以一眼看到有几颗珠子吗？可以！
对小朋友而言，珠算还是抽象的东西，因为他不明白，上珠的形状和下珠相同，为何当作五？
相信很多指导珠算的教师和家长都遭到这种痛苦。
但是在积木教学法中，这种痛苦完全免除。
九的积木表示法：
图一：
十十加法表二
只要让小朋友对着上面两个表格，每天排排积木图，不消一个星期，他对加五进位和十进位的加法概念都会很透彻！
再回到上文谈的既然我们的感官极限是七，七进位应该是更自然的事，为何我们不用七进位呢？世界上有些古老的民族确实是七进位，一星期到现在仍然有七天，就是古代遗留下来的证据。
也许是因为我们有两只手，十根手指，每手有五指，我们才这么偏向五进位和十进位。如果是每只手有七根指头，那么不得了了，我们要用十四进位，头会更昏。
数学教育博士Dr. Eternal Yen 撰稿，2004/6/16
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