【大紀元8月3日訊】
在上一節中，被加數和加數固定，和不固定；到了這一節倒過來，和固定，是已知條件，求滿足此和的被加數和加數有多少組。這樣一來，答案不只一組，但是答案要限定在「自然數」的範圍內。
所謂自然數，就是計物數，也就是數算人頭的數，是人類在最初時對數算和記錄物件的努力。而兒童的數學思想發展過程，在很多情況下會和先民的數學思想史不謀而合。
這個題目，如果以純粹的數學符號語言來寫：
1.X+Y=C，
2.X,Y,C屬於N
3.當C=1，X=?Y=?
4.當C=2, X=?Y=?
5.當C=3，X=?Y=?
6.當C=4, X=?Y=?
7.當C=5，X=?Y=?
1.是固定不變的條件，也就是這個題目設定的前提。
2.限定題目的範圍在自然數上。當然這個限定可以改變，可以把自然數改為其他大範圍的數，例如整數、實數等。但是這樣一來，X和Y的解的個數學就會變成無限多，變成要在實數系座標上畫線，才能表達。但是別忘了，我們這個課程的對象是三歲和三歲以上的小朋友。雖然當小朋友進行到分數或小數的概念時，他立刻會警覺到答案的範圍變大，其實是有無限多種的組合答案，但是在這裡，我們仍然要將範圍限定在一個安全範圍內，便利他探索。當然，我們也在期盼有一天，他的另一種覺知會到來，也就是他的觀念伸展開來，衝破自然數的限制。這一天就是該教代數和座標的時刻。
天才教育法的老師知道小朋友的前面道路會發生什麼事，他早就準備好了，伸出手在那裡等候他，所以現階段的任何課程的安排都是刻意的，不是突發的，因為它是一種鋪路課程。
3到7的C是常數。這個常數可以轉變，當常數轉變時，答案的範圍便會擴大。如果我們有座標軸上的二元一次方程式概念，便會看到線段在第一象限上不斷擴大，而當中的自然數點組就是答案。
不記得是哪一位思想加說過，任何高深的理論都有辦法以誠實的形式化為簡單質樸的樣貌，而這這種轉化的過程就是天才教育課程的設計目標。讓我們來看看上面的理論體系如何轉化為下面的仿如遊戲般的活動。
天才教育並不希望兒童或教師吃到任何苦頭，所以大部分的課程都會以遊戲和活動的面貌呈現。
*當「和」為二、三、四時
甲、二的自然數組成
教師可以這樣問：「多少加多少等於二？」
用淺白的話說就是：「隨意挑兩根積木造成紅色二，問這兩根積木是什麼顏色、什麼數字？」
或許有人甚至會認為這種積木排列活動對小朋友過於簡單，因為幾乎把分之百的小朋友都會答對。這是我們的目的沒錯，一開始，我們一定要簡單到讓小朋友答對，然後再加深難度。為何小朋友都會答對呢？因為他會看積木上的格子。所以如果教師要加深難度的話，可以改換一種沒有刻度的積木。但是這個動作務必要等到小朋友熟悉有格子的積木後。
乙、三的自然數組成
再來，數字增大，變成三。
教師問：「用兩根積木造成綠色的三，這兩根積木是什麼顏色？」
學生答：「白色和紅色」。
教師問：「可不可以把紅色排在前面？」
學生答：「可以。」
學生在無形當中學到加法中的「交換律」。
教師要學生排出如下圖形：
丙、四的自然數組成
教師問：「多少和多少造成四？」或者問：「用兩根積木連成四，這兩根基木是什麼顏色：」
學生答：「白色和綠色。」學生也可能這樣回答：「紅色和紅色」。
教師說：「這兩種答案都對。白色和綠色可不可以交換排？」
學生答：「可以。」
教師再問：「紅色和紅色可不可以換位置？」
學生答：「可以。」
教師問：「紅色交換位置後，看起來有沒有什麼不同？」
學生答：「沒有。」
教師引導學生排出如下圖形。
凡是偶數的組成都會需要兩塊同色積木：如果是六，就會需要兩塊三的積木；如果是八，就需要兩塊四的積木；如果是十，就需要兩塊五的積木。
現在到了五的組成，教師問小朋友：「多少和多少造成五？」
舉出越多種答案的小朋友，其思考越細密，小朋友的天資就在這裡顯現了。
上圖共有「四種」排列法，「兩種」組合法。
兩種組合一和四，二和三交換位置，變成四種排列法。
排列和組合不同，排列要計較位置，組合只管成分。12和21在排列上不同，在組合上一樣。排列則要計較順序。第一天，早上吃橘子，下午吃香蕉；第二天，早上吃香蕉，下午吃橘子，在排列（順序）上不一樣，而組合（成分）則視為相同。
千萬不要小看五的組成這個圖形，應該把它牢記在心。不止在以後的加法要用到，而且它已經有令高中生和大學生聞名喪膽的排列組合和數論的味道了。
請思考以下問題：
1.為什麼用兩個數字組成五，共有四種排列、兩種組合？
2. 如果推得出道理，那麼用兩個數字組成六，有幾種排列，幾種組合呢？
3. 用兩個數字組成六十呢？
4. 如果是用三個數字呢？
5.如果是用四個或五個數字呢？
這當中定然有公式，只要用積木排一排，當會發現定理的。不要以為小朋友不會發現定理，只要他對這個題目留下深刻的印象，他就算今年不發現，明年也會發現的；如果他明年不發現，後年遲早給他發現。而這種題目並不簡單，它是高中生或大學生的題目，無論小朋友是今年發現、明年發現、或者後年發現，都不算太晚。
推演公式、發現公式、建構公式的能力，正是我們在數學天才教育法中所要發展的。因此，不要怕給小朋友難度高的題目，這不會挫折到他，反而會在他心中留下一個謎，等時機成熟他自然會把這個謎解開。小朋友的好奇心和猜謎的動機遠比成人強烈得多。
*當「和」為五時
用一、二、三、四、五根積木組成五
上面的題目是用兩根積木，也可以用三根、四根、乃至於五根，可以把題目出到積木的根數等於數字之合。由於到目前為止，我們只介紹了五根積木，所以必須限制在五的範圍以內。
給小朋友難題，須注意一點，就是這個題目的意義必須是他能了解的。對小朋友來說，問題往往出在不了解語言，而不是不了解數學。所以我們要把題目轉換成他所了解的語言。請比較以下幾種語言：
任意用積木來排成五，請問有幾種排列法？可以用一根積木、兩根積木、三根積木、四根積木、乃至於五根。
用任意「自然數」構成五，有幾種構成法？
X+Y=C，X,Y,C屬於N和零。當C的值各為1,2,3,4時，X,Y值若干？
第一種語言是小朋友能夠聽懂的，第二種和第三種語言是國小高年級或國中生才懂的，但是實這三題是一模一樣的問題。由此可知，只要將題目的語言轉變以下，即使是很小的小朋友也都是會懂的。所以，回到一個結論，不懂數學的根本原因出在語言，而不是出在數學。天才教育的課程設計工作就是「翻譯」語言－－想盡辦法翻譯成「兒童國」的語言。
在這裡，我們還可以發現一個道理，其實數學的真貌就是那些，但是一經翻譯，就會有許多題目出現－－所有各種不同的題目都是一種翻譯！這就是為何數學公式只有幾條，但是題目卻多到做不完的真正原因。
*五的16種排列組合及解法
上面的積木圖簡單嗎？不簡單，很容易就漏掉幾個圖形。解決之道是把積木圖形擺在家中，就像組合樂高玩具一樣，一天排出一部分就好。如果還嫌這個題目太簡單，可以挑戰十的排列組合。
不要急著一天解出，腦筋會燒壞的！腦力就像體力一樣，有用盡的時候，因此只要像蓋房子一樣，一天蓋一部分就夠了。這就是為什麼我強調小朋友要有個人專用的古氏積木，而不是在教室裡玩玩就夠了。
解真正的數學題目是一種跑「馬拉松」的過程。這種題目絕對不是考試中那種一小時算三十題甚至一百二十題的淺薄題目可比擬。一個花三秒鐘就可以解出來的題目，沒什麼意思，真正的好題目要花好幾個月來解。但是這種馬拉松題目允許人吃飯、睡覺，等到有心情時再來解。馬拉松的題目才是「正宗」數學題目，從解這種題目中，小朋友可以提早體會當數學家的廢寢忘食滋味。
培養小朋友推演公式的能力要漸進，不要急躁，到目前為止，我們只給了小朋友五根積木，介紹了一到五的概念而已，請不要興奮到開始教起排列組合的理論來。有些教師或家長甚至興奮到丟下小朋友，自己一個人研究數學去了。
再回來談五的組成，它顯示了一個美麗的圖形，乍看之下，有某種規律存在。如果不說題目，先以圖形示人，把中間空掉幾行（如下圖），相信許多人也會有辦法把空格著上正確顏色。原因在於它有一種憑直覺就可以發現的規律。當人類把這種直覺整理過後，歸納出當中的道理，就成為數學。有經驗的教師知道如何抓住學生一閃即逝的直覺，並把它變成數學。
當教師或家長發現「五的組成」對小朋友不再是難事，小朋友在幾分鐘之內，就很輕鬆地排出時，那麼可以試試「六的組成」、「七的組成」，直到「十的組成」。
在這裡，有一個問題產生了！難道每次都要排積木才能發現共有幾種排列組合？如果是一百的組成，總不能還是用積木排列的方式吧？有沒有規律可循？有！這就要推演公式。但是推演公式的工作應該留給學生去完成，這才是啟發之道，教師不應越俎代庖，去替學生完成。不管學生要花幾個月，甚至幾年，這個工作都應該留給學生去做，反正他年紀還小，有充分的時間慢慢想，想好幾年也沒關係。這就是右兒的天才數學教育法優越的地方，小朋友有很多的時間讓數學的種子慢慢發芽。若是換了已經上高中的學生，教師沒有辦法等待，當學生推演不出公式的時候，教師只有用「灌」的，以免耽誤課程進度。由此，我們可以看出天才教育法是何等的重要了，它不是揠苗助長，相反的，它是給小朋友機會，給小朋友充分的時間讓種子發芽。天才教育法是播種子的教育法，所有的課程都是在播種，而不是催收果實。但是由於這個教法培養了小朋友獨立思考數學和解題的能力，在很多時候，果實來得很快，甚至讓教師措手不及。甚至在很多時候，教師和家長會生出一種感覺：「我的小朋友失控了，我不知道他的腦袋發展到什麼地步了，我真不知道該怎麼指導他了，我會不會是不夠聰明、不夠資格來教導他？」
天才教育法，不僅能夠培養學生的數學思維能力，也同樣能夠發展指導者的思考和教學能力。只要指導者跟著每一個教學步驟，跟著小朋友亦步亦趨，就不會有失去方向，不知如何進行下一步驟的感覺。天才教育既有辦法教小朋友，難道沒有辦法教大人嗎？雖然小朋友很可能進步得比大人快，原因出在於他永遠比大人專注，記憶力比大人好。也許他只玩了五分鐘，大人玩了五十分鐘，但是他的印象卻是牢不可破，維持終身的，這一點只要想想看我們還記得很多小時候的事就可以證明了。
請想想看：幼兒只要認識五根積木，就可建構出如此神奇美麗的圖形，就已經在腦裡播下排列組合的種子，開花結果是指日可待的事情。為什麼大人不用天才教學法，給自己一個機會，給小朋友無限的機會。想想看，如此優越的學習法不用，卻要坐等小朋友升上小學高年級、國中、高中，然後眼睜睜地看他討厭數學、畏懼數學、最後放棄數學？
每一個小朋友都是天生的天才，差別只在於他是否被提供機會成為天才？如果我們在今天就提供他未雨綢繆的課程，那麼他將來的前途是無可限量的。
希望讀者讀到這兒，開始體會一點天才數學教育的手法。簡而言之，就是把日後要學的高深理論包藏在今日的簡單學習活動中。而這些方法在坊間的教科書和參考書中是見不到的。但是讀者們若學了我的數學課程設計理論，就可以自己設計出天才數學教學法來。
有很多人問我為何不從頭到尾設計出一系列課程來，好讓大家可以如法炮製。誠然我可以盡最大的努力嘗試，但在這裡要提醒讀者一事：當學生不一樣時，每一次授課的深度將會不同；當學生的興趣不同時，每一次的「廣度」也會有些不同，廣度就是教師所舉的例子和應用。天才教育和普通教育最大的不同是，天才教育是「量身訂作」，而不是「照章上課」。即使教師事先把課程的內容準備到百分之百完美的地步，也會因為學生的課堂反應而修改。若要量身訂做，教師非要有一些課程設計的功力不可，而且要到臨場就能設計的水準。
最好是把圖形製成大型海報或者掛圖，懸在「醒目」的地方。小朋友的觀察力非常敏銳，耳濡目染的結果，無形中就會把加法甚至減法的原理印在心中。
一圖勝千言，教師說得口乾舌燥，還不如一張掛圖。因此，請勿以為製作掛圖的力氣會浪費掉，它可以節省很多唇舌和教學上的挫折感。教師少說一點話，能保護自己的喉嚨；學生多用一點眼睛，能提高自己的心智能力。
面對老是吵嚷不停的學生，也許每一天、每一節課，都要練習一段時間的靜默。這段時間可以讓學生靜聽音樂。
海報和掛圖是情境教學的一部分，請另尋專書研究。
*1~5的總和：無缺口的積木圖
求一長串數字的總和，雖然是算術的家常便飯，但也是使許多學童頭痛的問題。原因出在傳統的加法，總是按照順序，從第一個加到最後一個。在積木的加法中，則可以變換順序，盡量組成矩形或類矩形，如此則很容易看出答案。
例如：1+2+3+4，如果小朋友已經熟悉五的組成，那麼她將自然而然排出下列圖形：
如果是添加一個五，1+2+3+4＋5，則如下圖：
在這裡，由於小朋友還沒教超過五的量的概念，所以不求總和，只要她們排出矩形積木圖就可以了。
如果小朋友不知道矩形是什麼，教師可以告訴她排成沒有缺口的圖形。
數學教育博士Dr. Eternal 撰稿2004/6/16
eternal2004yen@yahoo.com.tw
Dr. Eternal Yen, PO Box 95844
Seattle, WA 98145-2844, USA
@
(http://www.dajiyuan.com)
